확률과 게임

확률과 게임

구조론연구소  김동렬  2021. 12. 11

 

 

볼츠만이 죽은 이유는 사람들이 확률이라는 낯선 개념을 받아들이려고 하지 않았기 때문이다. 그 이유는 그 시대 사람들이 존재를 연속적인 것으로 파악했기 때문이다. 확률은 불연속이다. 그런데 연속이라는 개념은 막연하다. 전지전능이니 영원불변이니 하는 말과 같다. 

    어떤 물체를 계속 쪼개면 유한한 갯수의 입자로 나누어진다는 개념을 19세기 사람들은 받아들이지 않았던 것이다. 유한 개의 입자라고? 직관적으로 아니잖아. 이렇게 생각한다. 그런데 빅뱅은 유한이다. 137억으로 숫자가 딱 떨어져 버린다. 그렇다면 우주는 과연 유한인가?

    직관적으로 아니다. 유한이면 유드리가 없어서 안 된다. 근대 수학은 무한을 받아들여서 발전했다. 자동차로 말하면 유단변속기든 무단변속기든 둘 다 모순이 있다. 무한도 아니고 유한도 아니고 제 3의 개념이 도입되어야 한다. 그것은 유체다. 유한은 강체에 해당된다.

    상자가 둘 있다. 하나는 토끼가 들어있고 하나는 빈 상자다. 두 상자를 연결한 다음 가운데 칸막이를 트면 어떻게 될까? 둘 중 하나에 토끼가 있을 확률은 50퍼센트다. 한쪽 상자에 토끼는 0마리였는데 50퍼센트로 확률이 증가한다. 반대로 두 상자가 다 0일 확률은? 0이다. 

    0마리의 토끼가 다른 상자로 옮겨가서 두 상자가 다 0마리가 될 확률은? 없다. 일반인은 4차원이니 둔갑술이니 귀신에 홀렸다거니 하며 개소리 하기 때문에 그건 알수 없다고 여긴다. 알 수 없긴. 수학은 엄격하다. 수학은 연역이고 연역은 처음 정한 규칙을 바꾸지 않는다. 

    사차원이나 초능력이나 둔갑술이나 마법이나 순간이동이나 터미네이터나 타임머신, 신의 전지전능은 애초에 언급되지 않았으므로 논외다. 토끼는 강체다. 유체라면? 한쪽 상자에는 토끼 100마리가 들어가 있고 다른 상자에는 0마리가 들어가 있다. 두 상자를 연결한다면? 

    100마리 중에 대략 50마리가 반대쪽 상자로 옮겨간다. 정확히 50마리는 아니다. 압이 걸려 있느냐가 중요하다. 유체는 닫힌계를 상정하므로 압력이 걸린다. 압력은 균일해진다. 두 상자의 토끼는 균일하다. 정확히 50 대 50이 되지는 않는다. 압력의 강도가 다르기 때문이다. 

    임신한 토끼나 덩치 큰 토끼가 끼면 피곤해진다. 예외를 배제하고 토끼의 숫자가 많을수록, 계에 걸린 압력이 강할수록 50 대 50에 근접해진다. 이때 압력이 걸린 쪽이 주도권을 가진다. 의사결정권을 가지는 것이다. 0마리가 움직여서 100마리 쪽으로 가는 일은 절대로 없다. 

    100 대 20이라면 어떨까? 역시 백마리 쪽이 이긴다. 볼츠만의 확률은 강체에 적용된다. 유체는 확률을 넘어 다른 이론이 필요하다. 계는 균일을 지향하며 의사결정 비용이 들고 에너지가 높은 쪽이 의사결정권을 가진다.

    우주를 연속적으로 보는 사고 - 확률은 낱개일 때 적용되므로 자연을 확률로 설명하면 안 된다. 열은 몇 개 하고 셀 수 있는 단위로 존재하는게 아니다.

   볼츠만의 불연속적 사고 - 분자 단위, 원자 단위로 쪼개면 낱개로 존재하며 분자가 몇 개이므로 확률로 접근할 수 있다.

   구조론의 게임이론 - 일정한 숫자를 넘으면 강체가 유체로 변하므로 낱개는 의미가 없고 전체가 한 덩어리를 이루며 압력차이가 결정하고 압력은 균일을 지향하고 의사결정권은 조금이라도 압력이 높은 쪽에 있다.

    우주공간의 온도는 영하 270도다. 우주에 발가벗고 있으면 몇 초만에 얼어죽을까? 열을 뺏어가는 분자가 없으므로 우주공간에서 잘 얼지 않는다. 영하 270도까지 떨어지는 데는 많은 시간이 걸린다. 

    결론.. 일정한 조건에서 강체는 유체로 바뀐다. 강체와 유체 사이 애매한 지점은 확률로 논할 수 있으나 유체는 확률이 아니라 게임에 의해 결정된다. 

    두 사람이 도박을 하는데 속임수가 없다고 가정하고 두 사람 사이에 밑천의 차이가 크다면 밑천이 많은 쪽이 무조건 이긴다. 100억을 가진 사람과 1원을 가진 사람이 점당 1원내기 고스톱을 치면 무조건 100억을 가진 사람이 이긴다. 

    100억과 10억이 대결하면? 확률이 결정한다. 도박이 아니라 무조건 돈 많은 사람이 이기기로 룰을 정하면? 무조건 돈 많은 사람이 이긴다. 의사결정에는 비용이 들고 그 의사결정비용을 조달할 수 있는 사람이 의사결정을 하기 때문이다.

    대결을 하려면 대칭을 만들고 대칭은 의사결정비용의 한도까지 밀어붙이게 되므로 1원이라도 많은 사람이 다 먹게 된다. 인간들이 하는 게임은 재미로 의외성을 높여놓은 것이고 자연은 그런게 없다. 완벽하게 닫힌계라면 완벽하게 센쪽이 이기게 되어 있다. 확률은 닫힌계인지 열린계인지 애매한 부분에 적용된다.